Tóm tắt kỳ trước:
Những tách cà phê được chia sẻ trên internet, mạng xã hội và cả tạp chí toán học, chúng có điểm chung gì? Khi nhìn vào trong đó, bạn có thể thấy những vệt sáng đang hội tụ lại với nhau thành một hình như trái tim. Hoặc bạn cũng có thể nghĩ đó là một cái mông.
Điều thú vị là chính bạn cũng có thể tự mình làm thí nghiệm này tại nhà, tạo ra một cái mông bên trong một cốc nước. Bởi cốc nước này hoàn toàn thỏa mãn nguyên tắc tái lập của khoa học, dựa trên một bài toán đã 500 năm tuổi từng khiến bao thế hệ từ Galileo Galilei, Pierre de Fermat, René Descartes cho đến Marin Mersenne, Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz phải mê mẩn.
Chính bài toán này đã đưa Blaise Pascal trở lại với toán học, người trước đó bị thần học mê hoặc và từng thề không bao giờ làm toán nữa. Nhưng đường cong gọi là cycloid đã hấp dẫn lại ông ấy, kéo Pascal ra khỏi con đường u mê và trở lại với khoa học.
Nhân loại khi đó mới biết được những tính chất vô cùng đẹp của cycloid, có được định luật Pascal, phát minh ra máy tính cơ học và thuyết xác suất - một nền tảng cho các hệ thống tài chính, tính toán và trí tuệ nhân tạo ngày nay.
Cycloid sau đó tiếp tục trở thành tâm điểm của một loạt "drama" toán học, khi Gilles de Roberval và Evangelista Torricelli tranh nhau là người đầu tiên tìm ra diện tích của nó. Pascal, người đã tìm ra được cả diện tích, trọng tâm và những tính chất kỳ diệu khác của cycloid đã thách thức cả thế giới làm được điều đó giống ông.
Nhà toán học người Thụy Sĩ Johannes Bernoulli sau đó cũng đặt ra một bài toán nổi tiếng gọi là Brachistochrone đối với đường cycloid. Bernoulli tự tin mình đã giải được bài toán này sau 2 tuần, nên đã thách thức tất cả các nhà toán học khác giải nó trong vòng 6 tháng.
Cuối cùng, khi Isaac Newton đọc được lá thư thách đố của Bernoulli, ông đã giải bài toán Brachistochrone chỉ trong vòng 1 đêm. Đó là nguồn gốc của câu nói "Tôi có thể nhận ra con sư tử qua móng vuốt của nó", khi Newton gửi đáp án ẩn danh cho Bernoulli nhưng ông vẫn nhận ra đó là lời giải của nhà vật lý lỗi lạc.
Vậy đường cycloid còn là tâm điểm của những drama toán học nào? Nó còn có những tính chất kỳ diệu và ứng dụng đột phá nào khác nữa? Chúng ta hãy cùng tiếp tục tìm hiểu.
Việc cycloid thỏa mãn tính chất của bài toán Brachistoshrone một lần nữa cho thấy vẻ đẹp toán học kỳ diệu của nó. Thả một viên bi từ vị trí A cao hơn xuống vị trí B, bằng trực giác bạn sẽ thấy đường đi ngắn nhất của nó phải là đường thẳng chéo.
Đường cung tròn và parabol thậm chí còn ngắn hơn đường cycloid nối A và B. Nhưng bằng cách nào, viên bi lại lăn từ A đến B theo đường cycloid nhanh nhất?
Đó là bởi ở đoạn đầu của đường cong này, viên bi đã nhận được gia tốc trọng trường lớn hơn các đường chéo và đường vòng cung, để nó rơi nhanh hơn. Trong khi ở nửa sau của cung cycloid, đường này lại duy trì được độ cong vừa phải để quãng đường trượt không quá dài - thứ có thể giúp viên bi giữ vận tốc và gia tốc hoàn hảo để tới đích nhanh hơn các đường vòng cung dốc hơn nhưng dài hơn khác.
Chưa dừng lại ở đó, đường cycloid còn thỏa mãn một tính chất thậm chí còn kỳ lạ hơn. Đó là dù bạn thả một viên bi ở bất kỳ vị trí A nào trên cung cycloid, viên bi đó cũng chạm tới điểm B trong cùng một thời điểm.
Nói cách khác, biên độ của viên bi trên cung cycloid không ảnh hưởng tới thời gian lăn của nó. Đây được gọi là bài toán Tautochrone, trong tiếng Hy Lạp cổ nghĩa là "đẳng thời gian" và nó có một ý nghĩa cực kỳ quan trọng với Christiaan Huygens, một nhà toán học người Hà Lan, cha đẻ của đồng hồ quả lắc.
Quay trở lại khoảng thời gian trước thế kỷ 17, loài người chỉ có thể ước lượng thời gian bằng các công cụ thô sơ như đồng hồ mặt trời, đồng hồ cát và đồng hồ nước. Đến khoảng thế kỷ 14 thì đồng hồ cơ học chạy bằng quả nặng bên trong các tháp chuông nhà thờ mới được phát minh.
Nhưng những chiếc đồng hồ này, dựa trên nguyên lý rơi của quả nặng và bánh răng, có sai số cực kỳ lớn, từ vài chục phút lên tới hàng tiếng đồng hồ. Đó là lý do tại sao đồng hồ trước thế kỷ 17 không có kim phút.
Mọi chuyện chỉ thay đối sau khi Huygens sử dụng cơ chế dao động để chế tạo ra một chiếc đồng hồ sử dụng con lắc đầu tiên. Chiếc đồng hồ có một quả nặng, đung đưa đều đặn theo các chu kỳ cố định. Khi con lắc được gắn vào hệ thống bánh răng, mỗi lần đung đưa, nó sẽ đẩy kim của đồng hồ tiến lên một chút.
Nhưng vấn đề mà chúng ta biết với một con lắc đơn giản, gồm một quả nặng gắn vào một sợi dây, đó là sau mỗi lần đung đưa, biên độ của nó lại giảm đi một chút, tạo ra một chút sai số về mặt thời gian.
Huygens sau đó đã phát hiện ra nếu con lắc đung đưa theo đường cycloid thay vì cung tròn bình thường, sai số do biên độ tạo ra có thể được dập tắt, bởi theo bài toán Tautochrone mọi điểm trên đường cycloid đều tạo ra một thời gian rơi giống hệt nhau, bất chấp biên độ của nó.
Nút thắt bây giờ chỉ là làm thế nào để khiến con lắc của đồng hồ dao động theo đường cycloid? Huygens đã chế tạo 2 tấm kim loại cong theo đường cycloid hai bên dây con lắc, để khi nó đung đưa, dây hãm quanh 2 tấm kim loại sẽ nắn đường đi của con lắc theo đường cycloid.
Kết quả là những chiếc đồng hồ chính xác nhất đã được Huygens tạo ra, với sai số từ hàng tiếng rút ngắn xuống còn 10 giây/ngày. Điều này đã mở ra kỷ nguyên hàng hải, khoa học và công nghiệp chính xác.
Loài người - từ chỗ sống theo 12 tiếng chuông từ đồng hồ nhà thờ ở Phương Tây hay 5 trống canh từ đồng hồ nước ở Phương Đông - đã chuyển sang nhịp sống hối hả chính xác tới từng giờ từng phút.
Không quá khi nói Huygens là người đã đưa nhân loại vào kỷ nguyên thời gian. Và ông sẽ không thể làm điều đó, nếu không phát hiện ra tính chất "đẳng thời" của đường cycloid.
Đồng hồ quả lắc, dĩ nhiên, không phải nơi duy nhất các đường cong cycloid xuất hiện. Nhờ tính chất đẳng thời đặc biệt của nó, đường cong này đã được ứng dụng rất rộng rãi trong khoa học kỹ thuật.
Tháo tung bất kỳ cỗ máy công nghiệp nào có sử dụng bánh răng truyền động, bạn sẽ thấy những chiếc răng này thường được thiết kế với hình cycloid, vì đây là hình dạng tối ưu nhất cho các chuyển động lăn trơn tru, giảm thiểu ma sát và chống mài mòn.
Cycloid cũng có khả năng chịu tải lớn, giảm rung động và hoạt động rất êm ái, do đó, nó thường được sử dụng cho các cỗ máy công nghiệp đòi hỏi tính chính xác cao, như cánh tay robot.
Một ứng dụng thực tế nữa của đường cycloid là trong những đường ray của tàu lượn siêu tốc. Không chỉ vì tính chất đẳng thời mà những đường tàu sử dụng cycloid sẽ đạt được tốc độ nhanh hơn, mà nó còn đảm bảo được trải nghiệm mượt mà và an toàn hơn cho hành khách.
Tiếp tục với hành trình của đường cycloid. Chúng ta biết để tạo ra nó, bạn sẽ cần lăn một đường tròn trên một đường thẳng. Nhưng trong đồng hồ quả lắc của Huygens, mọi thứ khác đi một chút, ông ấy đã lăn một đoạn thẳng (sợi dây con lắc) dọc theo một cung cycloid. Điều này tạo ra một đường gọi là involute, hay đường bao cuốn.
Một điều vô cùng đẹp với cycloid là đường bao cuốn của nó cũng chính là một cycloid, điều mà không một đường nào khác có thể làm được ngoại trừ đường logarit xoắn ốc (logarithmic spiral).
Lấy ví dụ đường bao cuốn của một đường parabol không phải là parabol, đường bao cuốn của một đường thẳng là một điểm, còn đường bao cuốn của một vòng tròn là đường xoắn ốc (spiral).
Và khi nói về đường bao cuốn involute, có một ứng dụng mà có lẽ Huygens đã không thể dự đoán được trong thời đại của ông: Đường cong này sau đó sẽ trở thành một phần quan trọng của lõi lò phản ứng hạt nhân.
Các lõi lò phản ứng hạt nhân hình trụ được thiết kế với các dải nhôm mỏng kẹp lấy thanh nhiên liệu uranium. Các dải nhôm này sau đó phải được uốn cong để chui lọt vào lõi hình trụ.
Một chất làm mát được đổ đầy và chạy giữa các dải nhôm này, nơi có hàng nghìn tỷ neutron đang lao vút quanh mỗi centimet vuông của lõi lò, tạo ra nhiệt độ cực kỳ lớn.
Điều quan trọng với hệ thống làm mát trong lõi lò phản ứng hạt nhân là các dải nhôm của nó phải cách đều nhau một khoảng không đổi trên toàn bộ bề mặt cong. Nếu không, nó sẽ tạo ra một điểm dị nhiệt, có khả năng gây mất ổn định nhiệt, dẫn đến tan chảy lõi lò từ bên trong và phát nổ.
Đó là nơi mà một đặc tính hữu ích của các đường tròn xoắn ốc involute xuất hiện. Nếu bạn vẽ một tập hợp các đường tròn xoắn ốc bắt đầu từ các điểm cách đều nhau trên chu vi của một hình tròn, thì khoảng cách giữa chúng vẫn không đổi trên toàn bộ mỗi đường cong.
Vì vậy, những đường involute này là lựa chọn hoàn hảo cho các dải nhiên liệu trong lõi lò phản ứng hạt nhân. Hơn nữa, đường tròn xoắn ốc, hay invevole của hình tròn là đường cong duy nhất có tính chất này.
Quả là một sự tiến hóa đáng kể, từ một đường cong ban đầu được nghiên cứu để tạo ra đồng hồ quả lắc của thế kỷ 17, hơn 300 năm sau lại có thể giải quyết được một bài toán thiết kế quan trọng cho lõi lò phản ứng hạt nhân.
Bây giờ, sau khi chúng ta đã lăn một đường tròn trên đường thẳng với bánh xe đạp, rồi lăn một đường thẳng trên đường tròn trong đồng hồ quả lắc, và trong lõi lò phản ứng hạt nhân, hãy trở về tách cà phê nóng hổi với câu hỏi cuối cùng là:
Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta lăn một đường tròn trên một đường tròn khác?
Ở đây, chúng ta có một số lựa chọn. Kích thước của vòng tròn lăn là bao nhiêu? Và chúng ta đang lăn dọc theo bên trong hay bên ngoài của vòng tròn đứng yên?
Đường cong tạo ra bởi một vòng tròn lăn dọc theo bên trong vòng tròn được gọi là hypocycloid. Nhưng nếu lăn nó dọc theo bên ngoài, bạn sẽ được một epicycloid. Và trong số các epicycloid, thú vị nhất là hình sẽ xuất hiện khi bạn lăn một vòng tròn có cùng bán kính bên ngoài một vòng tròn cố định.
Đó chính là cardioid, trong tiếng Hy Lạp cổ đại nghĩa là "trái tim", nhưng bạn cũng có thể tưởng tượng nó giống như một cái mông.
Trong tự nhiên, cardioid có thể được nhìn thấy trong rất nhiều sự vật, chẳng hạn như những chiếc lá anh thảo, lá sen nổi trên mặt nước. Bằng một cách thần kỳ nào đó, nó cũng là hình dạng của nhiều loại hạt giống và cả bào thai động vật và con người.
Cardioid nhân tạo thì có thể được tạo ra bằng nhiều cách, không đơn giản chỉ là lăn một đường tròn trên một đường tròn khác có cùng bán kính.
Chẳng hạn, nếu vẽ một đường tròn và lấy một điểm P trên đường tròn đó. Sau đó, lấy một điểm bất kỳ X trên chu vi đường tròn này và vẽ một đường tròn với bán kính XP. Tập hợp của tất cả các đường tròn bán kính XP này sẽ tạo thành một cardioid:
Đây chính là cách mà các micro thu âm cardioid hoạt động.
Chúng được thiết kế với một màng thu âm ở phía trước, và một mê cung các tấm chắn thông hơi ở phía sau. Sóng âm vì vậy chỉ có thể được thu rõ ràng nhất từ phía trước, nơi micro hướng vào miệng ca sĩ. Còn ở phía sau của nó, nơi có đám đông khán giả, sóng âm sẽ bị triệt tiêu hoặc phải đi vòng ra phía trước để vào màng thu âm.
Kết quả là chỉ có tiếng hát của ca sĩ được thu vào, còn tiếng khán giả vẫn xuất hiện nhưng với cường độ bé hơn rất nhiều.
Hiệu ứng tương tự này của hình cardioid cũng được ứng dụng cho các thiết kế ăng ten dân dụng và radar quân sự, nơi sóng điện từ được phát và thu theo mẫu hình cardioid để tránh gây nhiễu tới các thiết bị khác. Nó còn đang được nghiên cứu để chỉnh lưu cho các ống dẫn chất lỏng, có thể được ứng dụng trong y tế.
Một cách khác nữa, để tạo ra đường cardioid là nối các điểm phản xạ trên một đường tròn. Nếu có một nguồn sáng cố định được đặt trên chu vi của một gương tròn hoàn hảo, các tia sáng phản xạ từ gương tròn đó sẽ tạo thành một vùng ánh sáng tập trung, và vùng ánh sáng này sẽ tạo thành chính xác một cardioid!
Đây chính là nguồn gốc của "cái mông" trong những tách cà phê. Nếu bạn đặt nó dưới một bóng đèn, sao cho ánh sáng song song từ đèn vuông góc và chiếu ngay đến miệng cốc tròn, tập hợp các vùng sáng phản xạ của nó sẽ tạo ra hình "cái mông".
Vậy nên, mọi thứ đúng như nhà toán học người Hungary Alfréd Rényi từng định nghĩa: "Một nhà toán học là một thiết bị biến cà phê thành định lý". Chắc sẽ không có ví dụ nào thích hợp hơn một "cái mông" cardioid trong tách cà phê để minh họa cho nhận định đó.
Bây giờ, hãy thử lấy một chiếc cốc và đặt nó dưới một bóng đèn, ngay lập tức, bạn đã có thể đóng vai một nhà khoa học để kiểm thử một trong bài toán thú vị nhất của thế kỷ 17.
Bởi nguyên tắc đã được xác lập, nếu bạn không thể tạo ra hình một cái mông, rất có thể bạn đang sống trong một vũ trụ giả lập - với các định lý vật lý và toán học khác với vũ trụ của Galileo Galilei, Blaise Pascal và Isaac Newton từng sống.
Thanh Long